Fundamentos del Calculo Financiero

[!Nota] Lo importante de este tema es saber teoría para el test

Saber las fórmulas del descuento y capitalización. Saber hacer conversiones de porcentajes

5.1 Introducción

Un capital financiero es una magnitud bidimensional, lo que significa que se representa con dos datos: $\textbf{Capital financiero} = (C;\ t)$

Donde:

C → es la cuantía o valor del capital, expresado en unidades monetarias (por ejemplo, euros, dólares).
t → es el momento en el tiempo en el que ese capital estará disponible o será exigible.

📌 Ejemplo:
Un capital financiero de (1.000 €; 3 años) significa que se recibirán (o se pagarán) 1.000 euros dentro de 3 años.

Actividad económica: Se refiere a producir, distribuir y consumir bienes y servicios. En otras palabras, crear riqueza.
Actividad financiera: Trata de gestionar el valor del dinero en el tiempo. Es decir, cuándo se recibe, se entrega o se invierte un capital.

En el cálculo financiero, cuando se comparan capitales, las decisiones se basan en la cuantía y el tiempo. Se aplican las siguientes reglas:

Si dos capitales tienen el mismo vencimiento (mismo “t”), se prefiere el que tenga mayor cuantía (C).

Ejemplo: Entre (1.000 €; 2 años) y (1.200 €; 2 años), se prefiere el segundo.
Si dos capitales tienen la misma cuantía (mismo “C”), se prefiere el que se reciba en menos tiempo (menor “t”).

Ejemplo: Entre (1.000 €; 1 año) y (1.000 €; 3 años), se prefiere el primero.

Estas reglas expresan el principio fundamental de preferencia temporal del dinero:

“A igual cantidad, es mejor recibir el dinero cuanto antes; a igual momento, es mejor recibir más dinero.”

5.2 Concepto de operación financiera

Una operación financiera es un intercambio de capitales financieros entre dos agentes económicos, que se produce en momentos distintos del tiempo. Este intercambio implica siempre una prestación (lo que se entrega primero) y una contraprestación (lo que se devuelve después).

En toda operación financiera hay dos participantes fundamentales (Sujetos financieros):

Prestamista (acreedor) → Es el agente económico que entrega el capital en primer lugar. Está “prestando” el dinero.

Ejemplo: Un banco que otorga un préstamo.
Prestatario (deudor) → Es el agente que recibe ese capital. Luego, tiene la obligación de devolverlo (con intereses o condiciones, dependiendo del acuerdo).

Ejemplo: Una persona que recibe el préstamo del banco.

Los capitales que se intercambian en una operación financiera se clasifican en dos tipos:

Prestación → Es el capital (o conjunto de capitales) que entrega el prestamista.

Normalmente se entrega al principio de la operación.
Contraprestación → Es el capital (o conjunto de capitales) que devuelve el prestatario al prestamista.

Puede devolverse en uno o varios pagos, según lo acordado.

Recuerda: Tanto la prestación como la contraprestación son capitales financieros, es decir, pares (C; t), con valor y fecha.

En toda operación financiera se identifican tres puntos clave relacionados con el tiempo:

Origen → Es el momento de vencimiento del primer capital que se mueve en la operación.

Generalmente coincide con el momento en que se entrega la prestación.
Final → Es el momento de vencimiento del último capital (usualmente la última contraprestación).
Duración → Es el intervalo de tiempo entre el origen y el final: $\text{Duración} = \text{Final} - \text{Origen}$

Ejemplo simplificado:
Si una persona recibe un préstamo el 1 de enero de 2024 y lo devuelve completamente el 1 de enero de 2026, la duración de la operación es de 2 años.

5.3 Leyes financieras clásicas: Capitalización y Descuento

Las leyes financieras permiten calcular cuánto vale un capital en distintos momentos del tiempo.

5.3.1 Capitalización Simple

La capitalización simple consiste en calcular el valor final de un capital C0C_0 que se invierte o presta durante cierto tiempo a un tipo de interés fijo, sin acumular los intereses generados.

Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial.
Si el tipo de interés cambia a lo largo del tiempo, se calcula por tramos.

$C_n = C_0 + C_0 \cdot i \cdot n = C_0 \cdot (1 + i \cdot n)$

A presta a B 4.000,00 € a 12 meses, con los siguientes intereses:
🔹 1 % mensual los 3 primeros meses
🔹 2 % mensual los 5 meses siguientes
🔹 3 % mensual los últimos 4 meses

Se calcula el interés por tramos: $I = 4.000 \cdot (0{,}01 \cdot 3 + 0{,}02 \cdot 5 + 0{,}03 \cdot 4) = 4.000 \cdot (0{,}03 + 0{,}10 + 0{,}12) = 4.000 \cdot 0{,}25 = 1.000$ $C_n = 4.000 + 1.000 = \boxed{5.000,00}$

5.3.2 Capitalización compuesta

En la capitalización compuesta, los intereses generados se reinvierten: se suman al capital para generar nuevos intereses en los siguientes periodos.

$C_n = C_0 \cdot (1 + i)^n$

Si hay tipos de interés variables, se aplica tramo a tramo.

A presta a B 10.000,00 € a 10 meses
Interés: 1 % mensual compuesto

$C_n = 10.000 \cdot (1{,}01)^{10} \approx 10.000 \cdot 1{,}105 = \boxed{11.050,00}$

5.3.3 Descuento simple

Partimos de una cuantía futura $C_n$ que se espera recibir o pagar en un plazo determinado. El objetivo es calcular cuál sería su valor actual $C_0$ , conociendo:

el tipo de descuento simple comercial $d$ ,
y la duración $n$ (en meses, trimestres, años, según el tipo).

$C_0 = C_n - C_n \cdot d \cdot n = C_n \cdot (1 - d \cdot n)$

El descuento se calcula siempre sobre el capital de partida ( $C_n$ ).
Es una función lineal: el descuento es proporcional al tiempo.

A debe a B 3.000,00 € que debe pagar dentro de 6 meses.
Acuerdan cancelarla hoy con un 2,00 % de descuento simple mensual.
¿Cuánto paga hoy A?

$C_0 = 3.000 \cdot (1 - 0{,}02 \cdot 6) = 3.000 \cdot (1 - 0{,}12) = 3.000 \cdot 0{,}88 = \boxed{2.640,00 }$

5.3.4 DESCUENTO COMPUESTO

Aquí, el descuento se aplica de forma acumulativa (compuesta) en cada periodo.
La fórmula para hallar el valor actual $C_0$ de un capital futuro $C_n$ es:

$C_0 = C_n \cdot (1 + d)^{-n}$ Donde:

$d$ : tipo de descuento por periodo
$n$ : número de periodos
El descuento no es lineal, sino exponencial.

A debe a B 3.000,00 € dentro de 6 meses.
Se aplica un descuento compuesto del 2,00 % mensual.

$C_0 = 3.000 \cdot (1 + 0{,}02)^{-6} = 3.000 \cdot (1{,}02)^{-6} \approx 3.000 \cdot 0{,}885 = \boxed{2.655,00}$

5.4 ¿Qué son los tipos de interés equivalentes?

A veces los intereses no se aplican una sola vez al año, sino que se aplican varias veces al año: mensualmente, trimestralmente, semestralmente, etc.

Entonces necesitamos saber cómo convertir un tipo anual a un tipo por periodo más corto, o viceversa. Eso es lo que hacen los tipos de interés equivalentes.

Capitalización Simple

Aquí, los intereses NO se acumulan. Es una regla lineal.

$j_m$ : interés nominal anual (lo que se dice en términos anuales).
$i_m$ : interés efectivo por periodo (por mes, por trimestre…).
$m$ : número de periodos por año (12 para meses, 2 para semestres, 4 para trimestres…)

$i_m = \frac{j_m}{m}$

$i_{periodo}=\frac{TIN}{\text{nº pagos por año}}$

TIN = Tasa Interés Nominal, que es un tipo anual no capitalizable por sí mismo. Solo tiene sentido si se acompaña del número de períodos de pago. 2 Si el interés nominal anual es del 9 %, ¿cuál es el interés mensual equivalente? $i_m = \frac{9\,\%}{12} = 0{,}75\,\% \text{ mensual}$

Capitalización Compuesta

Aquí, los intereses se acumulan. Es más realista en el mundo financiero.

$j_m$ : interés nominal anual convertible (se refiere a cuánto se capitaliza en total al año, pero no incluye la acumulación compuesta).
$i_m$ : interés efectivo por periodo.
$i$ : interés efectivo anual (lo que realmente se gana/acumula al año, con capitalización).
Para pasar de interés por periodo $i_m$ a efectivo anual $i$ :
$i = (1 + i_m)^m - 1$
Para pasar de efectivo anual $i$ a interés por periodo $i_m$ : $i_m = (1 + i)^{1/m} - 1$
Y el interés nominal es simplemente: $j_m = i_m \cdot m$

Si el interés efectivo anual es del 12 %, ¿cuál es el interés semestral y el nominal anual?

Queremos:

$i = 12\%$
$m = 2$ (porque son semestres)

$i_m = (1 + 0{,}12)^{1/2} - 1 = \sqrt{1{,}12} - 1 \approx 1{,}0583 - 1 = 0{,}0583 = 5{,}83\% \text{ semestral}$ $j_m = i_m \cdot 2 = 5{,}83\% \cdot 2 = 11{,}66\% \text{ nominal anual}$

RESUMEN EN TABLA

Régimen	Fórmula de conversión	¿Acumula intereses?
Simple	$i_m = \frac{j_m}{m}$	❌ No
Compuesta (1)	$i = (1 + i_m)^m - 1$	✅ Sí
Compuesta (2)	$i_m = (1 + i)^{1/m} - 1$	✅ Sí

5.5 Rentas Financieras

Una renta financiera es una serie de pagos (o cobros) realizados en distintos momentos del tiempo.
Por ejemplo, un préstamo que pagas cada mes, una pensión que recibes cada año, etc.

Se representan como pares:

$(C_1, t_1), (C_2, t_2), ..., (C_n, t_n)$ $(C_{1}, t_{1}), (C_{2}, t_{2}), ..., (C_{n}, t_{n})$
- donde cada $C_i$ es un capital (cantidad de dinero)
- y $t_i$ es el momento en el que ocurre ese pago o cobro.

Elementos de una renta financiera:

Término: cada uno de los capitales que forman parte de la renta (como los 500 €, 1.000 €, etc.)
Periodo: tiempo entre pagos consecutivos.
Origen: instante en que comienza la renta (inicio del primer periodo).
Fin: momento en que termina (final del último periodo).
Duración: tiempo entre el origen y el fin.
Época de valoración: momento específico en el que se calcula el valor de la renta (ej. valor actual, valor futuro…).

5.5.1 Clasificación de las Rentas

Según la cuantía de los términos:

Constantes: todos los pagos son iguales.
Variables: los pagos cambian (suben o bajan).

Según el vencimiento de los términos:

Pospagables: los pagos se hacen al final del periodo (como pagar el alquiler al final del mes).
Prepagables: los pagos se hacen al inicio del periodo.

Según el instante de valoración:

Inmediatas: se empiezan a pagar desde ya.
Diferidas: comienzan más adelante.
Anticipadas: comienzan antes del periodo de cálculo (o tienen una valoración adelantada).

5.5.2 ¿Qué valores se pueden calcular?

Valor Actual (VA): cuánto vale HOY una renta que se cobrará en el futuro.
Valor Final (VF): cuánto tendrás en el futuro, si empiezas a pagar o recibir hoy.
Se calculan usando fórmulas de capitalización compuesta, porque el dinero pierde o gana valor en el tiempo.

EJEMPLO 2: Renta anual pospagable de 8 términos, total 15.000 €, con interés compuesto al 12 % anual

Sabemos:

Es constante y pospagable
8 pagos anuales iguales → $R$
Interés efectivo anual: 12 % → $i = 0{,}12$
Valor total: 15.000 € (esto puede ser el VA o VF, dependiendo del contexto)

Si se pide el valor actual (VA) y valor final (VF), usamos fórmulas:

Valor Actual (renta pospagable):

$VA = R \cdot \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$

Valor Final (VF): $VF = R \cdot \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$

EJEMPLO 3: Renta prepagable de 6 términos de 2.000 €, al 1,25 % periodal

$R = 2.000$
$n = 6$
$i = 0{,}0125$
Es constante y prepagable

Valor Actual (renta prepagable): $VA = R \cdot \left( \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} \right) \cdot (1 + i)$

Y el valor final (VF): $VF = R \cdot \left( \frac{(1 + i)^n - 1}{i} \right) \cdot (1 + i)$

⚠ En la renta prepagable, se multiplica por $(1 + i)$ porque los pagos se hacen antes, así que generan más intereses.

EJEMPLO 4: Renta pospagable de 10 pagos de 1.500 €, interés 3 % periodal

$R = 1.500$ , $n = 10$ , $i = 0{,}03$

a) Valor Actual: $VA = 1.500 \cdot \frac{1 - (1 + 0{,}03)^{-10}}{0{,}03}$

b) Valor en t = 2: → Calculas el valor actual como si estuvieras en el tiempo 2.
Es decir, actualizas los 8 pagos restantes (de t=3 a t=10).

c) Valor final si es anticipada tres periodos: → Significa que la renta empieza 3 periodos antes, y se debe capitalizar 3 periodos más.

$VF = \text{Valor de la renta pospagable normal} \cdot (1 + i)^3$